Có thật vẽ vậy không được?

(Bài đã đăng ở Bauxite VN [có điểu chỉnh đội chút và thêm 2 chú thích so với bài trên BVN]: không phải là chuyên gia về bản đồ nhưng thấy ông nầy nói bậy quá nên đành phải lên tiếng cho ổng học bài học sơ đẳng về vẽ bản đồ - nói sơ đẳng nhưng để hiểu đến gốc đến ngọn cũng cần có ít nhất kiến thức Toán năm cuối THPT)

Theo đường dẫn trong phần điểm tin của trang Basam.info ngày 19/9/2013 tôi đọc được bài ‘Vẽ vậy được hay sao ?’ của tác giả Trương Nhân Tuấn đề cập tới bài ‘bản đồ mốc giới Việt Nam - Trung Quốc theo tọa độ từ nghị định thư phân giới cắm mốc’ của anh Dương Danh Huy và tôi là đồng tác giả. Sau đó ông còn viết thêm một bài gay gắt hơn “Thư mở gởi các trang web Bô xít và Dân Luận”. Dù không phải là tác giả chính (tôi chỉ phụ trách phần xử lí dữ liệu), và dù hiểu biết còn hạn hẹp tôi buộc lòng phải viết đôi điều vạch ra một số chỗ chưa đúng trong lập luận của ông Tuấn nhằm giải toả những ngộ nhận có thể có ở bạn đọc có đọc hai bài viết này. Lưu ý rằng rằng đây chỉ làm quan điểm của riêng tôi và bạn đọc nào không cần tìm hiểu chi tiết có thể bỏ qua những phần chữ nhỏ bên dưới.

 

1. Nhận định chung nhất của ông Tuấn là “[c]ác bản đồ … đã được thực hiện không theo đúng bất kỳ một qui cách quốc tế “cartographie – vẽ bản đồ” nào. Cách vẽ của các tác giả là cách vẽ của con người thời cổ đại, lúc nhân loại chưa biết trái đất có hình cầu.” Để chứng minh cho nhận định này, tác giả đã lập luận như sau:

“Thật vậy, các tác giả đã vẽ các bản đồ biên giới Việt-Trung theo tiêu chuẩn trái đất hình vuông. Điều này được kiểm chứng ở các đường thẳng đứng vẽ song song. Tức các ô ca-rô trên bản đồ đều là hình vuông và bằng nhau. Trong khi các bản đồ, từ thế kỷ thứ 19 trở lại đây, người ta đã biết tới yếu tố « hình cầu – géodésie » của trái đất. Từ hệ quả đó, ta thấy trên bất kỳ một tấm bản đồ nào, các đường kinh tuyến, tức các đường theo chiều bắc-nam, không phải là đường thẳng mà là đường cong, hội tụ lại với nhau ở hai điểm : cực bắc và cực nam (cực địa lý – khác với cực từ). Các đường ngang – tức vĩ tuyến – cũng là các đường cong, song song với nhau, chiều dài của các đường này không bằng nhau. Những «tứ giác » trên bản đồ không bằng nhau, nếu khác vĩ tuyến.”

Đúng như ông Tuấn nói, loài người đã biết trái đất có hình cầu từ lâu. Thật ra trái đất có dạng gần với hình ellipsoid hơn (tôi không muốn dùng từ hình’ bầu dục’ hay hình ‘trái xoan’ ở đây vì đôi khi bị/được hiểu là hình phẳng) nhưng để đơn giản cứ tạm coi là trái đất có dạng hình cầu. Trong khi đó bản đồ là là hình phẳng nên để vẽ được người ta phải dùng một phép chiếu nào đó để chuyển mặt cầu thành một [phần] mặt phẳng. Một trong các phép chiếu thông dụng là phép chiếu Mercator (do Gerardus Mercator đưa ra từ năm1569) đến nay vẫn còn được nhiều công ti lớn trên toàn cầu sử dụng[1] và chúng tôi cũng sử dụng khi vẽ các bản đồ đang bàn. Phép chiếu này là một biến thái của phép chiếu ‘cầu lên trụ’. Để có thể xác định tính đúng đắn trong lập luận trên của ông Tuấn xin được phép mô tả sơ lược các phép chiếu này. Cách thực hiện thông thường dùng của phép chiếu ‘cầu lên trụ’ như sau (xem hình minh hoạ bên dưới):

Dựng một mặt trụ ngoại tiếp mặt cầu của trái đất theo đường xích đạo và chọn tâm O của trái đất làm tâm chiếu. Với một điểm bất kì P trên mặt trái đất, kéo dài tia OP về phía P sẽ gặp mặt trụ tại điểm P’ (P’ gọi là hình chiếu của P qua phép chiếu này). Làm tương tự như thế cho các điểm khác trên mặt cầu, ta chuyển được gần như toàn bộ mặt cầu lên mặt trụ (trừ 2 điểm Bắc cực và Nam cực vì tại đó tia OP nằm trên trục của mặt trụ nên không gặp mặt trụ được). Sau đó khai triển mặt trụ theo một đường sinh (cắt mặt trụ theo một đường thằng song song với trục của nó rổi làm phẳng xuống) sẽ được bản đổ tỉ lệ 1:1 của trái đất. Nếu muốn có bản đồ kích thước thuận tiên chỉ thu nhỏ bản đồ này theo tỉ số thích hợp.

Với kiến thức toán học trung học phổ thông, có thể dễ dàng thấy rằng với phép chiếu này các kinh tuyến chuyển thành các đường thẳng đứng song song nhau và các vĩ tuyến thành các đường thẳng nằm ngang song song nhau. Tuy nhiên, lưu ý rằng nếu ta có các vĩ tuyến cách đều nhau trên trái đất thì các vĩ tuyến tương ứng trên bản đồ lại không cách đều nhau, càng ra xa xích đạo khoảng cách càng to. Gọi (Lon, Lat) là toa độ điềm P và (x, y) là toạ độ điểm P’ (khi chọn hình chiếu của kinh tuyến gốc làm trục y’y và hình chiếu của xích đạo làm trục x’x), ta có các công thức chuyển toạ độ sau:

x =  Lon    (1),       y = tg(Lat)    (2)                   (lấy bán kính R của trái đất làm đơn vị)

Phép chiếu này có điểm nhược là khoảng cách của các điểm càng gần hai cực thì dãn ra rất lớn nên đối với các vị trí gần hai cực (vĩ tuyến 66° [80°] trở lên) người ta dùng phép chiếu khác (chẳng hạn như phép chiếu Gauss – Kruger sẽ đề cập sau). Ngoài ra, cho đến gần đây công dụng chính của bản đồ là dùng để giúp cho việc đi lại. Do đó, điều quan trọng là hướng giữa 2 điểm trên bản đồ phải trùng với hướng của hai điềm tương ứng trên trái đất thì người ta mới có thể sử dụng la bàn để đi lại được. Tuy nhiên, phép chiếu vừa trình bày không đảm bảo điều này. Vì thế, Mercator đã mày mò để điều chỉnh công thức (2) hầu như cho từng vĩ độ sao cho bản đồ thoả mản tính chất đó. Sau này với công cụ tính vi tích phân, logarithm người ta đã tìm được công thức chuyển đổi cho y là:

y  = ln ( tan ( Lat/2 + 45°))     (3)

Để thuận tiện cho việc trình bày tiếp, gọi điểm P_m là điểm trên At với AP = y = ln ( tan ( Lat/2 + 45°)). Với hiệu chỉnh này, nói chung điểm P_m không trùng với P’ (trừ trường hợp P trên xích đạo) nên thật ra phép chuyển đổi này không phải là ‘phép chiếu’ theo đúng nghĩa[2], tuy nhiên theo thói quen người ta vẫn đó gọi là phép chiếu Mercator.

Dễ thấy với công thức (3) [và (1)] thì hình chiếu các vĩ tuyến cũng sẽ trở thành những đường thằng nằm ngang song song và tính chất cách đều của các vĩ tuyến vẫn không giữ được.

Hiện nay với việc dùng GPS, nên việc bảo toàn hướng của hai điểm qua phép chuyển đổi không là điều quan trọng nên thậm chí người ta có thể hiệu chỉnh công thức chuyền đổi (3) đơn giản hơn thành:

y = Lat     (4)

Tức là, trong hình vẽ trên thay vì P’ ta chọn P” làm hình chiếu, với P” là điểm trên At sao cho AP” =  độ dài cung AP.

Phép chiếu này tuy không giữ được hướng giữa hai điểm nhưng bảo đảmchuyển các vĩ tuyến cách đều nhau thành các đường thẳng nằm ngang song song cách đều nhau. Hơn nữa, với các công thức chuyển toạ độ đều là hàm tuyến tính (x = Lon, y = Lat), người ta cũng có thể xử lí việc tínhđộ dài/ diện tích thưc tế dựa trên các số đo trên bản đồ dễ dàng, nhất là trong điều kiện máy tính điện tử được dùng phổ biến hiện nay.

Cũng với kiến thức toán trung học phổ thông dễ dàng chứng minh được là các hàm số liên quan trong các công thức (1), (2), (3) và (4) đều đồng biến. Với công thức (1), điều này có nghĩa điểm Q nào phía Đông [Tây] điểm P thì hình chiếu Q’(Q_m, Q’’) của nó vẫn ở phía Đông [Tây] của P’ (P_m, P”), trong đó Q_m là cách gọi tương tự như với điểm P_m. Còn với công thức (2), (3) và (4), điều này có nghĩa là điềm Q nào ở phía Bắc [Nam] của P thì hình chiếu Q’ (Q_m, Q’’) của nó sẽ ở phía Bắc [Nam] của P’ (P_m, P”). Tức là các bản đồ theo các phép chiếu trên hoàn toàn thoả mãn đòi hỏi tối thiểu của một bản đồ: đảm bảo giữ được vị trí tương đối của các điểm giống như trên thực địa. Và dĩ nhiên mỗi phép chiếu cụ thể còn thêm những thế mạnh khác như đã nêu.

Phần trình bày sơ lược trên cho thấy 3 ba phép chiếu vẽ bản đồ trên đều có các kinh tuyến/vĩ tuyến là đường thẳng song song và các kinh tuyến vuông góc với các vĩ tuyến, đặc biệt phép chiếu thứ ba có cả tính chất rằng khi vẽ thêm vào bản đồ các kinh tuyến và vĩ tuyến cách đều nhau, chẳng hạn cứ mỗi 10° một đường, thì chúng sẽ tạo thành một mạng các ô vuông đều nhau. Đó là điều mà ông Tuấn diễn đạt thiếu chính xác “…các ô ca-rô trên bản đồ đều là hình vuông và bằng nhau” (chỉ cần dùng một khung đã kẻ ô vuông sẵn để vẽ bản đồ lên đó thì bất kì bản đồ theo phép chiếu nào cũng có thể như vậy!).

Nếu có thể kéo dài thời cổ đại tới năm 1569 thì ông Tuấn đúng một phần vì các bản đồ chúng tôi công bố dùng phép chiếu Mercator. Còn phần hàm ý rằng hễ bản đồ có các kinh/vĩ tuyến song song thì trái đất ắt phải hình vuông rõ ràng là một suy diễn thiếu cơ sở vì có ít ra 3 cách vẽ bản đồ cho mặt cầu với các kinh tuyến, vĩ tuyến (như vừa mới chỉ ra) thoả một số hoặc tất cả điều ông mô tả.

2. Để làm mạnh thêm lí lẽ do “yếu tố « hình cầu – géodésie » của trái đất” nên kinh/vĩ tuyến trên bản đồ ‘không được phép’ là các đường thằng song song, đặc biệt là các “… vĩ tuyến [–] cũng là các đường cong, song song với nhau, chiều dài của các đường này không bằng nhau…”, ông Tuấn viện dẫn đến sự khác biệt về độ dài độ dài thật của 2 vĩ tuyến trên trái đất (!) và cho thêm ví dụ: cung 1’ ở xích đạo thì dài 1852 m còn cung 1’ ở vĩ tuyến xa xích đạo thì ngắn hơn (điều này đúng) và đặc biệt ở vĩ tuyến 45° thì bằng phân nửa, tức bằng 926  m ( =1852 m /2). Phần 1 đã cho thấy toàn bộ khẳng định này là sai nhưng điều tệ hại hơn ở đây là ông cũng không buồn dùng toán phổ thông kiểm lại trước khi vung tay phán rằng cung 1’ ở vĩ tuyến 45° có độ dài bằng phân nửa cung 1’ ở xích đạo (45° ở giữa 0° và 90° nên độ dài cung cũng phải ‘cưa đôi’ chăng?!)

Với hình vẽ trên, dùng quan hệ lượng giác trong tam giác vuông OIP có thể dễ dàng thấy rằng bán kính của đường tròn vĩ tuyến ở vĩ độ Lat là

r = IP = OP× cosLat =R × cosLat                   (trong đó R là bán kính trái đất)

Do đó, một cung có số đo α trên đường tròn vĩ tuyến ở vĩ độ Lat sẽ có độ dài là

s = r × α = (R cosLat) × α = (R × α) × cos Lat  = S × cos Lat

(trong đó S là độ dài cung ở xích đạo có số đo α).

Với công thức trên, độ dài xấp xỉ[3] của cung 1’ ở vĩ tuyến 45° phải là s =1852 m × cos 45° ≈ 1310 m. Muốn được độ dài ‘cưa đôi’ như ông Tuấn thì cung đó phải nằm trên vĩ tuyến 60° (cos60° =1/2)!

 

3. Để bài bác bản đồ chúng tôi vẽ, ông Tuấn cũng lập luận thêm rằng “[b]ộ bản đồ VN-Trung Quốc vừa được công bố được vẽ theo hệ thống tọa độ WGS 84 (World Geodetic System 1984), theo phép chiếu Gauss-Kruger, lấy kinh tuyến trung tâm 105° và múi chiếu 6°”, và hàm ý rằng bản đồ chúng tôi vẽ không theo hệ thống này nên phạm sai lầm. Điều 3 Nghị định thư nêu rằng:

"1. Tọa độ địa lí trong Nghị định thư này sử dụng hệ tọa độ mặt đất năm 1984 (hệ tọa độ WGS-84); chuẩn độ cao sử dụng mô hình trường trọng lực toàn cầu năm 1996 (EGM96).

2. Tọa độ vuông góc mặt phẳng của cột mốc giới liệt kê trong “Bảng đăng ký mốc giới” và “Bảng kê tọa độ và độ cao mốc giới” được tính toán, chuyển đổi từ tọa độ địa lí của cột mốc giới đó qua phép chiếu Gauss – Kruger, theo múi chiếu 6°. Tất cả các cột mốc đều có một bộ thành quả tọa độ vuông góc mặt phẳng tính toán, chuyển đổi theo đường kinh tuyến trung ương 105° kinh độ Đông; các cột mốc nằm ở 108° kinh độ Đông về Đông có thêm bộ thành quả tọa độ vuông góc mặt phẳng được tính toán, chuyển đổi theo đường kinh tuyến trung ương 111° kinh độ Đông." (những chỗ in nghiêng hay làm đậm là của người viết bài này)

Ngoài ra, không chỗ nào khác trong Nghị định thư nói về phép chiếu Gauss-Kruger và thật ra vẽ bằng phép chiếu nào là tuỳ theo mục đích sử dụng chứ không nhất thiết phải dùng phép chiếu cụ thể nào. Vấn đề là mọi thứ đều phải tương thích. Lưu ý rằng phần mềm chuyên dụng vẽ bản đồ của chúng tôi dùng toạ độ địa lí (không phải toạ độ vuông góc mặt phẳng) theo hệ WGS84 là đúng với hệ toạ độ địa lí của các cột mốc. Hơn nữa, bản đồ của CIA DataBank II cũng theo hệ toạ độ này và theo cùng phép chiếu Mercator với phần mềm nên hoàn toàn không có sự không ăn khớp như ông Tuấn nghĩ.

3. Nhân đây cũng xin được giới thiệu thêm về phép chiếu Gauss – Kruger mà tôi có đề cập ở trên. Phép chiếu này là một ví dụ cho thấy rằng cũng có những phép chiếu vẽ bản đồ không cho các kinh/vĩ tuyến là đường thẳng như ông Tuấn nói, nhưng đồng thời lại cũng cho thấy thêm khẳng định của ông Tuấn rằng “… trên bất kỳ một tấm bản đồ nào, các đường kinh tuyến … không phải là đường thẳng mà là đường cong … . Các … vĩ tuyến[–] cũng là các đường cong, song song với nhau…” là sai trái. Phép chiếu Gauss – Kruger thật ra chỉ là một biến thể của phép chiếu Mercator với mặt trụ bây giờ tiếp xúc mặt cầu ở 2 kinh tuyến đối nhau, và thường được dùng để vẽ từng múi rộng 6° của trái đất. Trong phép chiếu này các vĩ tuyến và các kinh tuyến nói chung không còn là các đường thẳng [song song] như phép chiếu Mercator (xem hình minh hoạ sau). Lưu ý rằng trong bản đồ ở hình này có 3 đường thẳng song song (không phải tất cả là đường cong!) thì đường chính giữa là xích đạo còn 2 đường thẳng song song kia lại là 4 ‘nửa’ kinh tuyến hợp lại (từ  2 kinh tuyến vuông góc với 2 kinh tuyến đỏ). Hơn nữa, trên đó lại có nhiều kinh tuyến gồm 2 cung rời nhau (do bị tách ra khi khai triển mặt trụ) chứ không phải là những đường cong liền lạc! Qua hình minh hoạ bạn đọc cũng có thể thấy được việc xác định toạ độ địa lí của một điểm trên bản đồ Gauss-Kruger là điều không dễ dàng[4]. Vì vậy, ông Tuấn có thể đã không chính xác khi nói “… bản đồ… được vẽ theo hệ thống tọa độ WGS 84 … theo phép chiếu Gauss-Kruger” vì vẽ theo phép chiếu Gauss – Kruger mà dùng hệ toạ độ WGS84 là điều hầu như không thực hiện được, nếu không chuyển đổi thành toạ độ vuông góc (dùng đơn vị độ dài, như m trong ‘bảng toạ độ cột mốc’).[5]

(Nguồn:  https://www.e-education.psu.edu/natureofgeoinfo/c2_p22.html)

Ngoài ra, cũng có nhiều phép chiếu bản đồ khác (như các phép chiếu ‘cầu lên nón’, ‘cầu lên phẳng’) cũng cho thấy khẳng định vừa nêu của ông Tuấn chỉ là nói bừa, nhưng có lẽ không cần thiết để trình bày thêm ở đây.

4. Cuối cùng xin lưu ý rằng toạ độ các cột mốc chúng tôi lấy từ ‘bảng toạ độ’ đăng trên công báo số 680+681 có đối chiếu với các toạ độ trong bản Nghị định thư (dạng scan) cũng trên công báo từ số 634+635 tới số 640+641 (bản này có chữ kí giáp lại từng trang của 2 phía Việt, Trung) nên có thể là đáng tin. Phần mềm do công ti chuyên ngành làm ra nên khó có lí do để nghi ngờ. Chỉ còn biên giới Việt - Trung theo bản đồ của CIA là chúng tôi chưa rõ họ vẽ dựa trên dữ liệu nào.

Trong khi chưa có một bản đồ biên giới có độ chính xác chuyên ngành theo công ước Pháp - Thanh (mà Việt Nam và Trung Quốc thống nhất dùng làm căn cứ chính), chúng tôi cho rằng việc dùng bản đồ CIA kết hợp với toạ độ các cột mốc công bố chính thức theo Nghị định thư và phần mềm chuyên dụng sử dụng đúng hệ toạ độ để vẽ ra bản đồ cột mốc biên giới là việc làm có ý nghĩa. Trước nhất, đó là bản đồ với độ chính xác chuyên ngành đầu tiên thể hiện tất cả cột mốc và điểm biên giới theo Nghị định thư mà cộng đồng người Việt thấy được sau ngày kí kết, góp phần lấp đi phần nào khoảng trống thông tin cần có mà người dân chưa được biết. Thứ hai, đó cũng là một tài liệu đáng tham khảo, chẳng hạn nếu thấy có những bất thường bất lợi cho Việt Nam trên bản đồ, chúng ta có thể đào sâu tìm hiểu thêm về những chỗ cụ thể đó để có những hành động thích hợp trong việc bảo vệ chủ quyền đất nước (thực tế là điều này không xảy ra cho bản đồ đã công bố dùng ‘biên giới của CIA’). Thứ ba,việc làm này cũng có thể có tác dụng thúc đẩy nhà nước sớm công bố bản đồ chính thức cho nhân dân. Và dĩ nhiên, do còn yếu tố ‘biên giới của CIA’ chưa thật rõ nên chưa thể rút ra bất kì kết luận nào từ các bản đồ này

Hi vọng rằng sẽ có những bạn đọc có quan tâm hoặc có chuyên môn dùng các nguồn khác nhau phối kiểm lại toạ độ các cột mốc, dùng phần mềm khác và bản đồ có biên giới khác lập ra những bản đồ mới tương tự chính xác và có chất lượng hơn góp phần vào công việc chung này.

Tóm lại, như đã phân tích ở trên các bản đồ mà chúng tôi cho công bố là cần thiết và có ích. Hơn nữa, chúng hoàn toàn không có vấn đề gì về kĩ thuật như ông Tuấn đã nhầm lẫn. Từ đó, câu trả lời cho bạn đọc đối với câu hỏi của ông Tuấn là: “Vâng, có thể vẽ như thế!”

---

[1] Các công ti lớn vẫn đang dùng/in bản đồ Mercator hay biến thể của Mercator American Map Company, Google Maps, Bing Maps, OpenStreetMap, MapQuest, Yahoo Maps, …
[2] Nếu chiếu một tia sáng từ tâm O hướng tới điểm P thì tia sáng sẽ gặp P', còn muốn gặp được Pm thì sau khi qua khỏi P tia sáng phải đổi hướng ngoặt xuống dưới (theo hình vẽ này), phép chiếu trình bày kế tiếp cũng thế. Vì vậy, từ 'phép chiếu' không nên hiểu nghĩa đen của nó.

[3] Dùng từ ‘xấp xỉ’ vì trái đất không hẵn là hình cầu như đã nêu.

[4] Lưới toạ độ địa lí của bản đồ Gauss-Kruger nói chung là các đường cong nên không thể dùng các dụng cụ nhu ê ke, thước kẻ, compass, thước đo góc để xác định toạ độ như trong bản đồ có lưới toa độ là gồm các đường thẳng vuông góc nhau. Tuy nhiên, trên thực tế, nếu bản đồ chỉ cho một khu vục hẹp gần kinh tuyến trung tâm thỉ các kinh tuyến, vĩ tuyền gần như thẳng và vuông góc nhau nên người ta cũng có thể dùng các dụng cụ trên để xac định toạ độ, nếu không yêu cầu độ chính xác thật cao.

[5] Dùng từ ‘có thể’ vì qua câu văn trích của ông Tuấn, tôi không rõ ông có hàm ý có chuyển đổi toạ độ hay không và lưu ý rằng việc chuyển đổi toạ độ cũng không đơn giản như bạn đọc có thể hình dung qua hình.